高数导数反函数求导复合函数求导分段函数求导隐函数求导参数方程求导幂指函数求导高阶导数

导数

初渝2024-12-312025-03-24

一、导数定义

导数定义的几种等价形式： Screenshot_2024_1231_231100.png|300 2个小总结： <<<<<<< HEAD

二、可导与连续的关系

可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导

三、基本导数公式

四、求导法则：

五、反函数求导

反函数求导法则：反函数的导数等于原函数导数的倒数

六、复合函数求导

复合函数求导法则：先外层求导，再乘内层求导

七、分段函数求导

方法：分段点两边分别求，中间分段点单独求

八、隐函数求导

方法：方程两边分别求导，注意方程中y是x的复合函数
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二、可导与连续的关系

可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导

三、基本导数公式

四、求导法则：

五、反函数求导

反函数求导法则：反函数的导数等于原函数导数的倒数

六、复合函数求导

复合函数求导法则：先外层求导，再乘内层求导

七、分段函数求导

方法：分段点两边分别求，中间分段点单独求

八、隐函数求导

方法：方程两边分别求导，注意方程中y是x的复合函数

c402237 (由 git bash 自动提交)

$例：求方程所确定的隐函数的导数$

$① 首先，对给定的方程关于求导：$

$对于这一项，根据复合函数求导法则，设，那么。$
$对于这一项，根据乘积法则，这里，，所以。$
$对于常数，其导数为。$
$所以对原方程求导后得到。$ $② 然后，求解：$
$将含有的项移到等式一边，得到。$
$提取公因式，得到。$
$最后解得。$ $故本题答案为。$

$例：求由方程所确定的隐函数在处$

$步骤一：隐函数求导$

$对于给定的方程，我们将看作是的函数，对方程两边同时关于求导。$

$对于这一项，根据乘积的求导法则，其中，，可得：$
$对于这一项，根据复合函数求导法则，这里，可得：$
$方程右边关于的导数为$

$于是，对方程求导后得到：$

$步骤二：求解$

$我们将上式进行整理，求解：$

$步骤三：求处的导数$

$我们需要先根据原方程求出当时的值。$ $当时，原方程变为，即$

$将代入到中，可得：$

九、由参数方程确定的函数求导

方法：y对t的导数除以x对t的导数

$求函数由参数方程确定，求$

十、幂指函数求导

方法：对数求导法

$对于形如的幂指函数，可以先对函数两边同时取对数，然后再根据复合函数的求导法则与隐函数的求导法则$ $例：求的导数$

$例：求的导数$

十一、多因子积商乘方构成的函数求导

方法：对数求导法

对于多因子积商乘方构成的函数，也可以先对函数两边同时取对数，化积商为加减，化乘方开方为系数，然后再根据复合函数的求导法则进行

$例：求的导数$

十二、高阶导数

（一）高阶导数的定义

对函数y=f（x）求导得到的称为一阶导数；
对继续求导得到二阶导数;
对继续求导得到三阶导数；
对继续求导得到四阶导数；

（二）求高阶导数的方法

情况1：求二阶或三阶导数
方法：先求一阶导，再求二阶、三阶导
情况2：求三阶以上的导数
方法：建议使用“常用”高阶求导公式

（三）求由参数方程确定的函数的二阶导数

$设参数方程$ $设函数由参数方程确定，求$ $①$
$②$
$③$
$④$
$⑤$